גבהים, אנך אמצעי וחוצה זוויתגאומטריה 571 · שיעור 13

גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות

שיעור 13: גבהים, אנך אמצעי וחוצה זווית

פרק 4 · קווים מיוחדים במשולש

1גבהים, גם במשולש קהה זווית

2אנך אמצעי וחוצה זווית כמקום גאומטרי

3מרכז המעגל החוסם והחסום – 5 תרגילים

הגדרה + משפט

גבהים במשולש (גם בקהה זווית)

גובה = אנך מקדקוד לצלע שמולו

במשולש קהה זווית: הגובה מ־C נופל על המשך הצלע AB

CF מאונך להמשך של AB

📐 משפט: שלושת הגבהים במשולש – או הישרים שעליהם הם מונחים – נפגשים בנקודה אחת

במשולש קהה זווית נקודת המפגש H נמצאת מחוץ למשולש; בישר זווית – בקדקוד הזווית הישרה

📐 הגדרה

גובה: אנך מקדקוד לישר שעליו הצלע שמולו (לפעמים על ההמשך שלה)

משפט + הוכחה

האנך האמצעי כמקום גאומטרי

הישר דרך M מאונך ל־AB ו־AM = MB: אנך אמצעי

הגדרה

P נקודה כלשהי על האנך האמצעי

מחברים את P ל־A ול־B

△PMA ≅ △PMB

צ.ז.צ: AM = MB , ∢PMA = ∢PMB = 90 , PM משותפת

PA = PB

במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות

📐 משפט: כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע – ולהפך

📐 שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת – מרכז המעגל החוסם

📐 הגדרה

אנך אמצעי: ישר שמאונך לקטע ועובר באמצעו

📐 משפט חפיפה

צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן

📐 כלל

במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות

משפט + הוכחה

חוצה הזווית כמקום גאומטרי

P על חוצה הזווית ∢A. מורידים אנכים PE ו־PF לשוקיים

המרחק מנקודה לישר הוא האנך

∢PAE = ∢PAF , ∢AEP = ∢AFP = 90 ← גם ∢APE = ∢APF

חוצה זווית + סכום זוויות במשולש

△APE ≅ △APF

ז.צ.ז (AP צלע משותפת)

PE = PF

במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות

📐 משפט: כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית – ולהפך

📐 שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת – מרכז המעגל החסום

📐 הגדרה

מרחק של נקודה מישר: אורך האנך מהנקודה לישר

📐 הגדרה

חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 משפט חפיפה

ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן

📐 כלל

במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות

תרגיל 1 · אנך אמצעי · קל

P נמצאת על האנך האמצעי של הקטע AB
PA = 3x − 4 , PB = x + 6. מצאו את x ואת PA

P על האנך האמצעי של AB

נתון

PA = PB

נקודה על האנך האמצעי – במרחק שווה מקצות הקטע

3x − 4 = x + 6

מציבים

3x − x = 6 + 4 ⟹ 2x = 10

מעבירים אגפים וכינוס

x = 5

מחלקים ב־2

PA = 3 · 5 − 4 = 11 , PB = 5 + 6 = 11 ✔

מציבים x = 5

✅ פתרון סופי: x = 5 , PA = 11

📐 משפט

כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע (ולהפך)

PA = PB

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

תרגיל 2 · אנך אמצעי והיקף · בינוני

במשולש ABC: AB = 10 , AC = 6. האנך האמצעי של BC חותך את AB ב־D
מצאו את היקף המשולש ADC

AB = 10 , AC = 6 , D על האנך האמצעי של BC

נתון

DB = DC

נקודה על האנך האמצעי – במרחק שווה מקצות הקטע

היקף △ADC = AD + DC + AC

סכום הצלעות

= AD + DB + AC

מציבים DC = DB

= AB + AC = 10 + 6 = 16

AD + DB = AB

✅ פתרון סופי: היקף המשולש ADC הוא 16

📐 משפט

כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע (ולהפך)

PA = PB

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים

AB = AM + MB

תרגיל 3 · חוצה זווית ומרחקים · קל

P על חוצה הזווית ∢A. PE ו־PF אנכים לשוקי הזווית
PE = 2y + 1 , PF = 5y − 8. מצאו את y ואת המרחק של P מהשוקיים

P על חוצה ∢A , PE ⊥ AE , PF ⊥ AF

נתון

PE = PF

נקודה על חוצה זווית – במרחק שווה משוקי הזווית

2y + 1 = 5y − 8

מציבים

1 + 8 = 5y − 2y ⟹ 9 = 3y

מעבירים אגפים וכינוס

y = 3

מחלקים ב־3

PE = 2 · 3 + 1 = 7 , PF = 5 · 3 − 8 = 7 ✔

מציבים y = 3

✅ פתרון סופי: y = 3 , המרחק הוא 7

📐 משפט

כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית (ולהפך)

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

תרגיל 4 · מרכז המעגל החסום · מורכב

במשולש ABC: ∢A = 70. חוצי הזוויות ∢B ו־∢C נפגשים בנקודה I
מצאו את ∢BIC ואת ∢BAI

∢A = 70 , BI ו־CI חוצי זוויות

נתון

∢B + ∢C = 180 − 70 = 110

סכום הזוויות במשולש ABC

∢IBC = ∢B : 2 , ∢ICB = ∢C : 2

חוצי זוויות

∢IBC + ∢ICB = 110 : 2 = 55

חצי מהסכום

∢BIC = 180 − 55 = 125

סכום הזוויות במשולש BIC

AI חוצה את ∢A

שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת

∢BAI = 70 : 2 = 35

AI חוצה זווית

✅ פתרון סופי: ∢BIC = 125 , ∢BAI = 35

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 הגדרה

חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות

📐 משפט

שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת: מרכז המעגל החסום

תרגיל 5 · הוכחה: מרכז המעגל החוסם

במשולש ABC האנכים האמצעיים של AB ושל BC נפגשים בנקודה O
הוכיחו: OA = OB = OC , ו־O נמצאת גם על האנך האמצעי של AC

O על האנך האמצעי של AB ועל האנך האמצעי של BC

OA = OB

O על האנך האמצעי של AB

OB = OC

O על האנך האמצעי של BC

OA = OB = OC

שתי השורות הקודמות

OA = OC

מהשורה הקודמת

O על האנך האמצעי של AC

נקודה במרחקים שווים מקצות קטע – על האנך האמצעי שלו

מעגל שמרכזו O ורדיוסו OA עובר דרך A , B , C

OA = OB = OC

✅ פתרון סופי: הוכחנו: OA = OB = OC – O מרכז המעגל החוסם

📐 משפט

כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע (ולהפך)

PA = PB

📐 משפט הפוך

נקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע – נמצאת על האנך האמצעי שלו

📐 משפט

שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת: מרכז המעגל החוסם

📌 מה למדנו היום

📐 משפט

כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע (ולהפך)

PA = PB

📐 משפט

כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית (ולהפך)

📐 משפט

שלושת הגבהים (או המשכיהם) נפגשים בנקודה אחת

📐 משפט

שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת: מרכז המעגל החוסם

📐 משפט

שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת: מרכז המעגל החסום

💡 אנך אמצעי ← מרחקים שווים מנקודות. חוצה זווית ← מרחקים שווים מישרים (השוקיים).

בשיעור הבא: קטע אמצעים במשולש

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא